Закон рэлея джинса вывод



Закон рэлея джинса вывод

В 1900 году Рэлей подошёл к изучению спектральных закономерностей излучения черного тела с позиции статистической физики воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Он рассмотрел равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками как совокупность стоячих электромагнитных волн (осцилляторов).

К стоячим волнам, образующимся в промежутке между двумя стенками, Рэлей применил один из основных законов статистической физики – закон о равномерном распределении энергии между степенями свободы системы, находящейся в равновесии. Каждой стоячей волне со своей собственной частотой соответствует своя колебательная степень свободы (на одну колебательную степень свободы приходится , то есть сумма потенциальной и кинетической тоже (в среднем)). То есть каждый осциллятор в среднем имеет энергию, равную kT: .

В 1905 году Джинс уточнил расчеты Рэлея и окончательно получил:

Это и есть формула Рэлея–Джинса.

Из формулы (1.5.1) видно, что монотонно возрастает с ростом ν 2 в отличие от экспериментальной, кривой которая имеет максимум (рис. 1.5).

Формула (1.5.1) справедлива только в области малых частот и не согласуется с законом Вина. Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана (R

T 4 ) приводит к абсурду:

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точки зрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.

Итак, было получено две формулы, описывающие излучение абсолютно черного тела: одна для коротковолновой части спектра (формула Вина), другая – для длинноволновой (формула Рэлея–Джинса). Задача состояла в том, чтобы получить выражение, описывающее тепловое излучение во всем диапазоне частот.

Источник

Закон Рэлея — Джинса

Закон Рэлея — Джинса

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе). [1] [2] [3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неудовлетворительность классической физики.

Вывод формулы

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую —— магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

.

В нашем случае скорость v следует положить равной c , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот dω :

,

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения , для f(ω,T) находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея-Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование (3) по ω в пределах от 0 до для равновесной плотности энергии u(T) дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях u(T) . Однако ошибки в выводе формулы Релея-Джинса с классической точки зрения —— нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции u(ω,T) , соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

Примечания

1. ↑Strutt JW (Rayleigh) (1900). «Remarks upon the law of complete radiation». Phil. Mag.49: 539-540.
2. ↑Jeans JH (1905). «On the laws of radiation» (pdf). Proc. R. Soc. Lond. A76: 545-552. DOI:10.1098/rspa.1905.0060.
3. ↑ Говард Д. (1966). «Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей)» (pdf). УФН88 (1): 149-160.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Закон Рэлея — Джинса» в других словарях:

Закон Рэлея — Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела и для испускательной способности абсолютно чёрного тела который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о… … Википедия

Закон излучения Рэлея — Джинса — Закон Релея Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о… … Википедия

Рэлея — Джинса закон излучения — Закон Релея Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о… … Википедия

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от темп ры: un=(8pn2/c3)kT, где un плотность излучения, соответствующая частоте v. P. Д. з. и. был выведен в 1900 Дж. У. Рэлеем из классич, представлений о… … Физическая энциклопедия

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от темп ры: где uv плотность излучения на частоте v. P. Д … Физическая энциклопедия

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН — излучения, устанавливает распределение энергии в спектре абсолютно черного тела в зависимости от температуры. Частный случай Планка закона излучения (см. ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ) для относительно малых частот излучения. Выведен различными методами … Энциклопедический словарь

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН излучения устанавливает распределение энергии в спектре абсолютно черного тела в зависимости от температуры. Частный случай Планка закона излучения для относительно малых частот излучения. Выведен различными методами в 1900 Дж. У.… … Большой Энциклопедический словарь

Рэлея — Джинса закон излучения — закон, выражающий распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела (См. Абсолютно чёрное тело) в зависимости от температуры. Р. Д. з. и. может быть записан в виде: где uν плотность излучения, соответствующая частоте … Большая советская энциклопедия

закон излучения Рэлея-Джинса — Reilėjaus ir Džinso spinduliuotės dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Rayleigh Jeans equation; Rayleigh Jeans radiant law; Rayleigh Jeans radiation formula vok. Gesetz von Rayleigh Jeans, n; Rayleigh Jeanssches Strahlungsformel, f; … Fizikos terminų žodynas

закон лучеиспускания Джинса — Reilėjaus ir Džinso spinduliuotės dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Rayleigh Jeans equation; Rayleigh Jeans radiant law; Rayleigh Jeans radiation formula vok. Gesetz von Rayleigh Jeans, n; Rayleigh Jeanssches Strahlungsformel, f; … Fizikos terminų žodynas

Источник

Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела и для испускательной способности абсолютно чёрного тела который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату , означавшему неудовлетворительность классической физики.

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

.

В нашем случае скорость следует положить равной , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Релей и Джинс каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот :

,

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела с равновесной плотностью энергии теплового излучения , для находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея-Джинса

Ультрафиоле́товая катастро́фа — физический термин, описывающий парадокс классической физики, состоящий в том, что полная мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной. Название парадокс получил из-за того, что спектральная плотность энергии излучения должна была неограниченно расти по мере сокращения длины волны.

По сути этот парадокс показал если не внутреннюю противоречивость классической физики, то во всяком случае крайне резкое (абсурдное) расхождение с элементарными наблюдениями и экспериментом.

Так как это не согласуется с экспериментальным наблюдением, в конце XIX века возникали трудности в описании фотометрических характеристик тел.

Проблема была решена при помощи квантовой теории излучения Макса Планка в 1900 году.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Формула Рэлея-Джинса. Абсолютно чёрное тело.

Абсолютно чёрное тело, тело, которое при любой температуре полностью поглощает весь падающий на него поток излучения, независимо от длины волны.

Все объекты обладают тепловым излучением (пока их температура выше абсолютного нуля, то есть -273,15 градусов по Цельсию), но ни один объект не является абсолютным излучателем; скорее, одни объекты излучают/поглощают свет с определённой длиной волны лучше других. Такие нечёткие результаты при работе с обычными объектами затрудняют изучение взаимосвязи света, температуры и материи.

К счастью, возможно создать почти идеальное чёрное тело.

Опыт. 8.1Модель абсолютно чёрного тела.

1. Полый сосуд непрозрачными стенками и относительно малым отверстием с внутренними перегородками.

2. Печь для нагревания.

1. Полый сосуд непрозрачными стенками и относительно малым отверстием снабжаем внутренними перегородками.

2. Нагревая сосуд в печи, экспериментально определяется энергия излучения абсолютно чёрного тела по длинам волн при различных температурах.

3. Наблюдаем, что с ростом температуры чёрного тела полная энергия, излучаемая в секунду, возрастает.

Вывод: С ростом температуры чёрного тела полная энергия, излучаемая в секунду, возрастает.

В начале 20 века учёные Лорд Рэлей, Вильгельм Вин и Макс Планк (а также многие другие) использовали такое приспособление при исследовании излучения чёрного тела. Проделав большую работу, Планк смог точно описать яркость света, излучаемого чёрным телом, как функцию от длины волны. Более того, он смог описать зависимость спектра излучения от температуры. Работы Планка по исследованию чёрного тела легли в основу такого удивительного направления физики, как квантовая механика.

Планк и другие открыли, что с ростом температуры чёрного тела полная энергия, излучаемая в секунду, возрастает, и длина волны спектрального максимума сдвигается в направлении более синих цветов.

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны.

Формула Рэлея-Джинса.

Общий метод определения универсальной функции Кирхгофа, основанный на применении методов статистической физики к тепловому излучению был предложен Рэлеем, а затем развит Джинсом.

Согласно теореме статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы в состоянии статистического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем kT/2 энергии, а на колебательную степень свободы — kT.

Равновесное излучение в полости представимо системой стоячих электромагнитных волн. Каждое электромагнитное колебание обладает энергий kT,kT/2 приходится на электрическую составляющую, и kT/2 на магнитную составляющую электромагнитного колебания.

Рассчитав количество стоячих волн в единичном интервале частот приходящихся на единицу объема, Рэлей и Джинс получили выражение для универсальной функции

Кирхгофа в виде , а поскольку = kT, то окончательно

kT (8.7)

Формула Рэлея — Джинса удовлетворяет экспериментальным данным лишь в области низких частот. В области высоких частот она приводит к абсурдным результатам.

Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана (R

T 4 ) приводит к абсурду.

Интегрируя по всему диапазону частот, получаем, что энергетическая светимость абсолютно черного тела есть бесконечная величина.

(8.8)

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точки зрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.

8.6 Формула Планка.

Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения электромагнитной энергии нагретым телом происходят не непрерывно, как это принимала классическая физика, а конечными порциями – квантами. Квант – это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. По теории Планка, энергия кванта E прямо пропорциональна частоте света:

E = h (8.9)

где h – так называемая постоянная Планка. h = 6,626·10 –34 Дж·с. Постоянная Планка – это универсальная константа.

На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам ν, а не по длинам волн λ.

r( (8.10)

Здесь c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν

Источник