Меню

Закон рэлея джинса для теплового излучения



Закон рэлея джинса для теплового излучения

В 1900 году Рэлей подошёл к изучению спектральных закономерностей излучения черного тела с позиции статистической физики воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Рэлей (Стретт) Джон Уильям (1842–1919) – английский физик. Работы посвящены теории колебаний, одним из основоположников которой он является, акустике, теории теплового излучения, молекулярной физике, гидродинамике, электромагнетизму, оптике. Исследовал колебания упругих тел, первый обратил внимание на автоколебания. Заложил основы теории молекулярного рассеяния света, объяснил голубой цвет неба. Сконструировал рефрактометр (рефрактометр Рэлея).

Он рассмотрел равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками как совокупность стоячих электромагнитных волн (осцилляторов).

К стоячим волнам, образующимся в промежутке между двумя стенками, Рэлей применил один из основных законов статистической физики – закон о равномерном распределении энергии между степенями свободы системы, находящейся в равновесии. Каждой стоячей волне со своей собственной частотой соответствует своя колебательная степень свободы (на одну колебательную степень свободы приходится , то есть сумма потенциальной и кинетической тоже (в среднем)). То есть каждый осциллятор в среднем имеет энергию, равную kT: .

Джинс Джеймс Хопвуд (1877–1946) – английский физик и астрофизик. Основные физические исследования посвящены кинетической теории газов и теории теплового излучения. Вывел в 1905 году формулу плотности энергии (закон Релея–Джинса). Работы Джинса посвящены также квантовой теории, математической теории электричества и магнетизма, теоретической механике, теории относительности.

В 1905 году Джинс уточнил расчеты Рэлея и окончательно получил:

Это и есть формула Рэлея–Джинса.

Из формулы (1.5.1) видно, что монотонно возрастает с ростом ν 2 в отличие от экспериментальной, кривой которая имеет максимум (рис. 1.5).

Формула (1.5.1) справедлива только в области малых частот и не согласуется с законом Вина. Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана (R

T 4 ) приводит к абсурду:

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точки зрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.

Итак, было получено две формулы, описывающие излучение абсолютно черного тела: одна для коротковолновой части спектра (формула Вина), другая – для длинноволновой (формула Рэлея–Джинса). Задача состояла в том, чтобы получить выражение, описывающее тепловое излучение во всем диапазоне частот.

Источник

Закон Рэлея — Джинса

Закон Рэлея — Джинса

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе). [1] [2] [3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неудовлетворительность классической физики.

Вывод формулы

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую —— магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

.

В нашем случае скорость v следует положить равной c , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот dω :

,

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения , для f(ω,T) находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея-Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование (3) по ω в пределах от 0 до для равновесной плотности энергии u(T) дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях u(T) . Однако ошибки в выводе формулы Релея-Джинса с классической точки зрения —— нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции u(ω,T) , соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

Примечания

  1. Strutt JW (Rayleigh) (1900). «Remarks upon the law of complete radiation». Phil. Mag.49: 539-540.
  2. Jeans JH (1905). «On the laws of radiation» (pdf). Proc. R. Soc. Lond. A76: 545-552. DOI:10.1098/rspa.1905.0060.
  3. Говард Д. (1966). «Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей)» (pdf). УФН88 (1): 149-160.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Закон Рэлея — Джинса» в других словарях:

Закон Рэлея — Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела и для испускательной способности абсолютно чёрного тела который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о… … Википедия

Читайте также:  Как носить белые рубашки женские с джинсами

Закон излучения Рэлея — Джинса — Закон Релея Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о… … Википедия

Рэлея — Джинса закон излучения — Закон Релея Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о… … Википедия

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от темп ры: un=(8pn2/c3)kT, где un плотность излучения, соответствующая частоте v. P. Д. з. и. был выведен в 1900 Дж. У. Рэлеем из классич, представлений о… … Физическая энциклопедия

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от темп ры: где uv плотность излучения на частоте v. P. Д … Физическая энциклопедия

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН — излучения, устанавливает распределение энергии в спектре абсолютно черного тела в зависимости от температуры. Частный случай Планка закона излучения (см. ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ) для относительно малых частот излучения. Выведен различными методами … Энциклопедический словарь

РЭЛЕЯ — ДЖИНСА ЗАКОН излучения устанавливает распределение энергии в спектре абсолютно черного тела в зависимости от температуры. Частный случай Планка закона излучения для относительно малых частот излучения. Выведен различными методами в 1900 Дж. У.… … Большой Энциклопедический словарь

Рэлея — Джинса закон излучения — закон, выражающий распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела (См. Абсолютно чёрное тело) в зависимости от температуры. Р. Д. з. и. может быть записан в виде: где uν плотность излучения, соответствующая частоте … Большая советская энциклопедия

закон излучения Рэлея-Джинса — Reilėjaus ir Džinso spinduliuotės dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Rayleigh Jeans equation; Rayleigh Jeans radiant law; Rayleigh Jeans radiation formula vok. Gesetz von Rayleigh Jeans, n; Rayleigh Jeanssches Strahlungsformel, f; … Fizikos terminų žodynas

закон лучеиспускания Джинса — Reilėjaus ir Džinso spinduliuotės dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Rayleigh Jeans equation; Rayleigh Jeans radiant law; Rayleigh Jeans radiation formula vok. Gesetz von Rayleigh Jeans, n; Rayleigh Jeanssches Strahlungsformel, f; … Fizikos terminų žodynas

Источник

Формула Релея-Джинса

38. Формула Релея-Джинса.

Закон Релея — Джинса — закон излучения Рэлея — Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Вывод формулы

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

.

В нашем случае скорость v следует положить равной c, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот dω:

,

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения , для f(ω,T) находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того интегрирование (3) по ω в пределах от 0 до для равновесной плотности энергии u(T) дает бесконечно большое значение. Этот результат получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливается при конечных значениях u(T). Однако ошибки в выводе формулы Релея — Джинса, с классической точки зрения — нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой.

39. Гипотеза Планка. Формула Планка (стр. 10-11 «Кванты»).

Открытие постоянной Планка. Это произошло в 1900 г. Планк получил формулу для спектральной плотности uw(T) теплового излучения, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными. Однако для этого ему пришлось ввести гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики. Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения en пропорциональные некоторой элементарной порции — кванту энергии e0. В связи с этим испускание и поглощение электромагнитного излучения осциллятором (веществом) осуществляется не непрерывно, а дискретно в виде отдельных квантов, величина которых пропорциональна частоте излучения:

где коэффициент ħ получил впоследствии название постоянной Планка. Определенное из опыта значение ħ равно

В физике есть величина, имеющая размерность «энергия х время». Ее называют действием. Постоянная Планка имеет ту же размерность, поэтому ее иногда называют квантом действия. Заметим также, что размерность ħ совпадает с размерностью момента импульса.

Читайте также:  Узкие низу мужские джинсы

Постоянная Планка была определена экспериментально не только с помощью законов теплового излучения, но и другими, более прямыми и точными методами. Значения ħ, полученные на основе разных физических явлений (тепловое излучение, фотоэффект, коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра и др.), хорошо согласуются друг с другом.

Постоянная Планка — это важнейшая универсальная константа, играющая в квантовой физике такую же фундаментальную роль, как скорость света в теории относительности. Открытие постоянной Планка и связанной с ней идеи квантования ознаменовало рождение новой, квантовой теории. Физику, как науку, стали подразделять на классическую (нерелятивистскую и релятивистскую) и квантовую, неразрывно связанную с фундаментальной константой ħ.

Итак, Планк доказал, что формулу для спектральной плотности энергии теплового излучения можно получить только в том случае, если допустить квантование энергии, противоречащее классическим представлениям.

Трудно было примириться с таким отказом от классических представлений, и Планк, совершив великое открытие, еще в течение нескольких лет пытался понять квантование энергии с позиций классической физики. Безуспешность этих попыток привела его к окончательному выводу, что в рамках классической теории природу теплового излучения понять невозможно.
40. Фотоэффект. Формула Эйнштейна (стр. 12-14 «Кванты»).

Фотоэлектрическим эффектом, или фотоэффектом называют испускание электронов веществом под действием света. Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке, схематически показанной на рис. 1.1. При освещении катода К монохроматическим светом через кварцевое окошко (пропускающее и ультрафиолетовые лучи) из катода вырываются фотоэлектроны, и в цепи возникает фототок, регистрируемый гальванометром G. График зависимости фототока I от приложенного внешнего напряжения V между катодом и анодом А представлен на рис. 1.2. Этот график называют характеристикой фотоэлемента, т. е. того прибора, в котором наблюдают фотоэффект. Для этой зависимости характерно наличие участка тока насыщения Iнас, когда все электроны, вырванные светом с поверхности катода К, попадают на анод А, и другого участка, на котором фототок уменьшается до нуля при некотором внешнем задерживающем напряжении V1.

Многочисленными экспериментами были установлены три основные закономерности фотоэффекта:

1. Фототок насыщения пропорционален падающему световому потоку. Это значит, что число электронов, вырываемых светом ежесекундно, пропорционально мощности падающего света.

2. Для каждою металла существует максимальная длина волны света lk (или минимальная частота (wk), при которой еще происходит вырывание электронов. Если длина волны превышает lk — так называемую красную границу фотоэффекта, — то испускание фотоэлектронов отсутствует даже при достаточно большой интенсивности падающего света.

3. Максимальная кинетическая энергия К фотоэлектронов линейно зависит от частоты w облучающего света (причем растет с увеличением w) и не зависит от интенсивности света.

Формула Эйнштейна. Полученная электроном энергия ħw частично затрачивается на освобождение из металла. А остальная часть переходит в кинетическую энергию вылетевшего из металла фотоэлектрона. Минимальную энергию, необходимую для освобождения электрона из металла, т. е. для преодоления потенциального барьера, называют работой выхода А. Следовательно, для фотоэлектронов с максимальной кинетической энергией Кмакс закон сохранения энергии в элементарном акте поглощения фотона можно записать так: ħw = А + Кмакс. Эта формула впервые была получена Эйнштейном и носит его имя — формула Эйнштейна.

41. Тормозное рентгеновское излучение (стр. 19-20 «Кванты»).

Если энергия кванта ħw значительно превышает работу выхода А, то уравнение Эйнштейна (1.3) принимает более простой вид:

Эту формулу можно интерпретировать и иначе: не как переход энергии светового кванта в кинетическую энергию электрона, а наоборот, как переход кинетической энергии электронов, ускоренных разностью потенциалов V, в энергию квантов, возникающих при резком торможении электронов в металле. Тогда

Именно такой процесс происходит в рентгеновской трубке. Она представляет собой вакуумный баллон, в котором находится нагреваемый током катод — источник термоэлектронов, и расположенный напротив анод, часто называемый антикатодом. Ускорение электронов осуществляется высоким напряжением V, создаваемым между катодом и антикатодом.

Под действием напряжения V электроны разгоняются до энергии eV. Попав в металлический антикатод, электроны резко тормозятся, вследствие чего и возникает так называемое тормозное рентгеновское излучение. Спектр этого излучения при разложении по длинам волн оказывается сплошным, как и спектр видимого белого света. На рис. 1.7 показаны экспериментальные кривые распределения интенсивности Il (т. е. dI/dl) по длинам волн А, полученные для разных значений ускоряющего напряжения V (они указаны на рисунке).

42. Эффект Комптона (стр. 24-25 «Кванты»).

Опыты Комптона. Комптон (1923) открыл явление, в котором можно было наблюдать, что фотону присущи энергия и импульс. Результаты этого опыта — еще одно убедительное подтверждение гипотезы Эйнштейна о квантовой природе самого электромагнитного излучения. Комптон исследовал рассеяние жесткого рентгеновского излучения на образцах, состоящих из легких атомов, таких как графит, парафин и др. Схема его установки показана на рис. 1.10. Источником рентгеновского излучения служила рентгеновская трубка с молибденовым антикатодом. Диафрагмы D1 и D2 выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец О. Для исследования спектрального состава рассеянного излучения оно после прохождения ряда диафрагм попадало на кристалл К рентгеновского спектрографа, а затем в счетчик С (или на фотопластинку).

Читайте также:  Синие брюки желтый джемпер

Комптон обнаружил, что в рассеянном излучении, наряду с исходной длиной волны l, появляется смещенная линия с длиной волны l’ > l. Это получило название комптоновского смещения, а само явление — эффекта Комптона. Опыт показал, что наблюдаемое комптоновское смещение l’ — l не зависит от материала рассеивающего образца и длины волны l падающего излучения, а определяется лишь углом q между направлениями рассеянного и падающего излучений (см. рис. 1.10). С увеличением угла интенсивность смещенной компоненты растет, а несмещенной — падает. Это показано на рис. 1.11, где представлены результаты измерений на графите при различных углах рассеяния для так называемой Ка-линии молибдена, имеющей длину волны 0,071 нм. Слева показана форма линии исходного излучения (т. е. спектральное распределение интенсивности по длинам волн). Правее — то же самое для рассеянного излучения при различных углах рассеяния.

43. Теория эффекта Комптона (стр. 26-27 «Кванты»).

Комптон предположил, что рассеяние рентгеновского кванта с изменением длины волны надо рассматривать как результат одиночного акта столкновения его с электроном. Рассмотрим столкновение фотона со свободным электроном с учетом того, что при этом должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской динамики.

Пусть на первоначально покоившийся свободный электрон с энергией покоя тс2 падает фотон с энергией e и импульсом e/с. После столкновения энергия фотона станет равной e’, а энергия и импульс электрона отдачи Е’ и р’. Согласно законам сохранения энергии и импульса системы фотон-электрон, запишем до и после столкновения следующие равенства:

где второе равенство записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов (рис. 1.12).

Имея в виду, что связь между энергией и импульсом релятивистского электрона согласно (П. З) имеет вид

найдем Е’2 из формулы (1.14) и р’2с2 из (1.15):

Вычтя в соответствии с (1.16) выражение (1.18) из (1.17) и приравняв полученный результат т2с4, получим после сокращений:

Остается учесть, что e = ħw и e’ = ħw’, а также связь между w и l (w = 2pс/l), и мы получим:

где lс — комптоновская длина волны частицы массы т,

Для электрона lС = 2,43 • 10-10 см. Универсальная постоянная lС является одной из важнейших атомных констант.

51. Опыт Франка-Герца (стр. 44-47 «Кванты»).

Опыты Франка и Герца (1913). Эти опыты дали прямое доказательство дискретности атомных состояний. Идея опытов заключается в следующем. При неупругих столкновениях электрона с атомом происходит передача энергии от электрона атому. Если внутренняя энергия атома изменяется непрерывно, то атому может быть передана любая порция энергии. Если же состояния атома дискретны, то его внутренняя энергия при столкновении с электроном должна изменяться также дискретно на значения, равные разности внутренней энергии атома в стационарных состояниях. Следовательно, при неупругом столкновении электрон может передать атому лишь определенные порции энергии. Измеряя их, можно определить значения внутренних энергий стационарных состояний атома.

Это и предстояло проверить экспериментально с помощью установки, схема которой показана на рис. 2.5. В баллоне с парами ртути под давлением порядка 1 мм рт. ст. (»130 Па) имелись три электрода: К — катод, С — сетка и А — анод. Электроны, испускаемые горячим катодом вследствие термоэлектронной эмиссии, ускорялись разностью потенциалов V между катодом и сеткой. Величину V можно было плавно менять. Между сеткой и анодом создавалось слабое тормозящее поле с разностью потенциалов около 0,5 В.

Таким образом, если какой-то электрон проходит сквозь сетку с энергией, меньшей 0,5 эВ, то он не долетит до анода. Только те электроны, энергия которых при прохождении сетки больше 0,5 эВ, попадут на анод, образуя анодный ток I, доступный измерению.

В опытах (см. рис. 2.5) исследовалась зависимость анодного тока I (гальванометром G) от ускоряющего напряжения V (вольтметром V). Полученные результаты представлены на рис. 2.6. Максимумы соответствуют значениям энергии Е1 = 4,9 эВ, Е2 = 2Е1, Е3 = 3Е1 и т. д.

Такой вид кривой объясняется тем, что атомы действительно могут поглощать лишь дискретные порции энергии, равные 4,9 эВ.

При энергии электронов, меньшей 4,9 эВ, их столкновения с атомами ртути могут быть только упругими (без изменения внутренней энергии атомов), и электроны достигают сетки с энергией, достаточной для преодоления тормозящей разности потенциалов между сеткой и анодом. Когда же ускоряющее напряжение V становится равным 4,9 В, электроны начинают испытывать вблизи сетки неупругие столкновения, отдавая атомам ртути всю энергию, и уже не смогут преодолеть тормозящую разность потенциалов в пространстве за сеткой. Значит, на анод А могут попасть только те электроны, которые не испытали неупругого столкновения. Поэтому, начиная с ускоряющего напряжения 4,9 В. анодный ток I будет уменьшаться.

Из результатов опытов следует, что разница внутренних энергий основного состояния атома ртути и ближайшего возбужденного состояния равна 4,9 эВ, что и доказывает дискретность внутренней энергии атома.

Итак, все опыты такого рода приводят к заключению, что состояния атомов изменяются лишь дискретно.

Источник